Physics 1600 11. Special relativity II
4 vector (t,x,y,z)
このvectorのlengthが、invariant lengthの拡張版ということか！
回転してもlengthは同じ、みたいな感じで、boostしてもlengthは同じ、と捉えられるのか！
$ \vec x \cdot \vec x = invariant length
❓これはなぜ？普通にdot productの定義無視してない?
operatorを導入する
$ Λ(β_B)を、lorentz transf.のmatrixとする
covariantとは
=> lorentz transformを、covariant transformという
lengthが同じなので
4vec length, 4vec velocity, 4vec momentumとかがcovariant?
4vec
length
velocity
"transform covariantly between inertial frames"とは?
dx/dtを普通にやると、分母のdtが普通にframeによって変わってしまうのでおかしいよねと言っている?
なので、Lorentz-invariant def of timeが欲しい
γt = τとして、τをproper timeにする
proper time: measured in rest frame
これはtime dilationで出てきていたのかblu3mo.icon*2
x,y,zは0なので、τ = γtになるのかblu3mo.icon*3
uは理解したblu3mo.icon
One demonstration of the utility of the four-velocity is the fact that its components perpendicular to a boost – uy and uz for boosts in the x direction are invariant under the LT.
このあたり全然理解していないblu3mo.icon*2
すると、$ u = (γ, γ\dot β)
もちろんnewtonianとは違う
p406-7 飛ばしたのであとで読む
momentum
newtonian momentumはSRではconservedじゃなかったりするので、4 vec momentumを考えたい
これは、boostされていない方向のmomentum$ p_y=mγβ_y, p_z=mγβ_zはinvariantと考えて良い
ただ、$ mβ_y, mβ_zは4 vec momentumと違ってinvariantではない
それはβの定義を考えればそう、$ βy=Δy/Δtなので、boostされてΔtが変わるとβy, βzも変わる
あるframeにおいて4vec momentumがconservedなら、全frameにおいてconserved
4vec momentumがconservedというのは、Δp = 0ということ
LTをしたときに、全componentが0じゃないとLT後が0にならない事から自明ではあるblu3mo.icon*2
p408詳細
energy
4vec momentumのt-componentがenergyになる(?)
つまり$ mγ
とりあえずそれはそういう物だと思っておくか..
non-relativistic energyとの関係
non-relativistic energyにmを足したものが4vec energy (?)
Force
$ F=\frac{dp}{dt} (Newton's 2nd law)は、ちゃんとしたSR momentumを取れば成り立つblu3mo.icon*2
（ここのmomentumは3 vec momentum $ = mβγ)なのかな
dK/dt = Power = Fv
p = (E, 3vec SR momentum) = m(γ, βγ)
この関係大事blu3mo.icon*2
これを使うと、$ p \cdot p = m^2という変形が成り立つ
https://gyazo.com/9e4ccd1b32247595948c14e589ecab40
invariant lengthなのでeuclidianではない事に注意
変形すると、E^2 = p^2 + m^2も得られる
分からなすぎる、unitは一緒になる..?
natural unitsだとそうなのかblu3mo.icon*2
これを理解すればだいたいOK、とblu3mo.icon*2
https://gyazo.com/adb0c66886f3eddfff5e430a11b3f346
だいたいこれまでやった事がまとまっているblu3mo.icon*2
massless
上にあるように、massはmomentumのinvariant length
なので、massはinvariant
E=mは結局間違っているblu3mo.icon*2
velocity-invariantなら、E=mはおかしい
正しいのはE=mγ
その上で、"mγ"のことをvelocity-variant massとか呼ぶ人も居たけど、それは誤解
間違ったmassとreal massの話をしているが、あんまりつかめていないblu3mo.icon
https://gyazo.com/1e08c1ad13a69718e3f9850efa2752a4
masslessの場合は、Energyがmomentumの分だけあることになる E=|p|
ので別になにも問題はない
その時はβ -> 1になるもの、photonと一致している
https://gyazo.com/f12a7d8d13801574a5061772ba8de185
これをにらめば理解できそうblu3mo.icon*2
natural unitなら、全部cが消える
4 vec は全てcovariantではあるが、invariantではない
LTしたら変わる
（proper timeを使っているので、boostにperpendicularなcompomentは変わらない）
covariantということは、
もしx方向にboostしたら、y, z componentはinvariantなのか
ということなのかblu3mo.icon*3
Lorentz transf.と同じ計算でtransformできるblu3mo.icon*2
Very important: the results for the velocity of the COM and velocities of particles relative to the COM that we obtained previously no longer apply in SR.